Solve the following cubic equation:
3x3 - 12x2 - 51x + 180 = 0
Δ = 4b3d - b2c2 + 4ac3 - 18abcd + 27a2d2
Δ = (4)-123(180) - -122-512 + (4)(3)-513 - 18(3)(-12)(-51)(180) + (27)321802
Δ = -1244160 - 374544 + -1591812 - 5948640 + 7873200
Δ = -1285956
A few interim calculations need to be done to get our 3 answers.
f = | (3c/a) - b2/a2 |
3 |
f = | (3)(-51)/3 - (-122)/(32) |
3 |
f = | -51 - 16 |
3 |
f = | -67 |
3 |
f = -22.333333333333 <------- Keep this in mind for later
g = | 2b3/a3 - 9bc/a2 + 27d/a |
27 |
g = | (2)(-123)/33 - (9)(-12)(-51)/32 + (27)(180)/3 |
27 |
g = | (2)(-1728)/27 - (9)(-12)(-51)/9 + (27)(180)/3 |
27 |
g = | -128 - 612 + 1620 |
27 |
g = | 880 |
27 |
g = 32.592592592593 <------- Keep this in mind for later
h = | g2 |
4 |
+ |
f3 |
27 |
h = | 32.5925925925932 |
4 |
+ |
-22.3333333333333 |
27 |
h = | 1062.2770919067 |
4 |
+ |
-11139.37037037 |
27 |
h = 265.56927297668 + -412.56927297668
h = -147
i = √¼g2 - h
i = √¼(32.5925925925932) - -147
i = √265.56927297668 - -147
i = √412.56927297668
i = 20.311801322795
j = i(1/3)
j = 20.311801322795(1/3)
j = 2.7284509239575
k = Arccosine(-g/(2i))
k = Arccosine(-32.592592592593/((2)20.311801322795))
k = Arccosine(--0.80230679875783))
k = 2.5019461241135
l = -j
l = -2.7284509239575)
l = -2.7284509239575
m = Cosine(k/3)
m = Cosine(2.5019461241135/3)
m = Cosine(0.83398204137117)
m = 0.67193194395968
n = 3 * Sin(k/3)
n = 3 * Sin(2.5019461241135/3)
n = 1.7320508075689 * Sin(0.83398204137117)
n = 1.7320508075689 * 0.74061289665153
n = 1.2827791657412
p = | -b |
3a |
p = | --12 |
3(3) |
p = | 12 |
9 |
p = 1.3333333333333
x1 = 2j * Cosine(k/3) - b/(3a)
x1 = (2)(2.7284509239575) * (Cosine(2.5019461241135/3) - -12/(3)(3)
x1 = (5.456901847915)(Cosine(0.83398204137117) - -1.3333333333333
x1 = 3.6666666666667 - -1.3333333333333
x1 = 5
x2 = l(m + n) + p
x2 = -2.7284509239575(0.67193194395968 + 1.2827791657412) + 1.3333333333333
x2 = -2.7284509239575(1.9547111097009) + 1.3333333333333
x2 = -5.3333333333333 + 1.3333333333333
x2 = -4
x3 = l(m - n) + p
x3 = -2.7284509239575(0.67193194395968 - 1.2827791657412) + 1.3333333333333
x3 = -2.7284509239575(-0.61084722178153) + 1.3333333333333
x3 = 1.6666666666667 + 1.3333333333333
x3 = 3