3x^4 + 6x^3 + -123x^2 + -126x + e = 0

Enter quartic equation coefficients:

x⁴

x³

x²

= 0

Using the rational roots (rational zero) theorem:
Find roots for 3x⁴ + 6x³ - 123x² - 126x + 1080
Rational roots of a polynomial will be q/p where
q is a factor of the constant term (1080)
and p is a factor of the leading x⁴ coefficient (3)

Determine our list of p values first:

Numbers (1 - 3)	3 ÷ Number List	Factor of p?
1	3 ÷ 1 = 3	Y
3	3 ÷ 3 = 1	Y

Our factor list for p is {1,3}

Let's determine our list of q values next:

Numbers (1 - 1080)	1080 ÷ Number List	Factor of q?
1	1080 ÷ 1 = 1080	Y
2	1080 ÷ 2 = 540	Y
3	1080 ÷ 3 = 360	Y
4	1080 ÷ 4 = 270	Y
5	1080 ÷ 5 = 216	Y
6	1080 ÷ 6 = 180	Y
8	1080 ÷ 8 = 135	Y
9	1080 ÷ 9 = 120	Y
10	1080 ÷ 10 = 108	Y
12	1080 ÷ 12 = 90	Y
15	1080 ÷ 15 = 72	Y
18	1080 ÷ 18 = 60	Y
20	1080 ÷ 20 = 54	Y
24	1080 ÷ 24 = 45	Y
27	1080 ÷ 27 = 40	Y
30	1080 ÷ 30 = 36	Y
36	1080 ÷ 36 = 30	Y
40	1080 ÷ 40 = 27	Y
45	1080 ÷ 45 = 24	Y
54	1080 ÷ 54 = 20	Y
60	1080 ÷ 60 = 18	Y
72	1080 ÷ 72 = 15	Y
90	1080 ÷ 90 = 12	Y
108	1080 ÷ 108 = 10	Y
120	1080 ÷ 120 = 9	Y
135	1080 ÷ 135 = 8	Y
180	1080 ÷ 180 = 6	Y
216	1080 ÷ 216 = 5	Y
270	1080 ÷ 270 = 4	Y
360	1080 ÷ 360 = 3	Y
540	1080 ÷ 540 = 2	Y
1080	1080 ÷ 1080 = 1	Y

Our factor list for q is {1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,27,30,36,40,45,54,60,72,90,108,120,135,180,216,270,360,540,1080}

Calculate our q ÷ p = r values

p	q	r = q ÷ p	ƒ(r) = 3r4 + 6r3 - 123r2 - 126r + 1080	ƒ(r) value	-1 x r	ƒ(-r) = 3r4 + 6r3 - 123r2 - 126r + 1080	ƒ(-r) value
1	1	1	3(1)4 + 6(1)3 - 123(1)2 - 126(1) + 1080	840	-1	3(-1)4 + 6(-1)3 - 123(-1)2 - 126(-1) + 1080	1080
1	2	2	3(2)4 + 6(2)3 - 123(2)2 - 126(2) + 1080	432	-2	3(-2)4 + 6(-2)3 - 123(-2)2 - 126(-2) + 1080	840
1	3	3	3(3)4 + 6(3)3 - 123(3)2 - 126(3) + 1080	0	-3	3(-3)4 + 6(-3)3 - 123(-3)2 - 126(-3) + 1080	432
1	4	4	3(4)4 + 6(4)3 - 123(4)2 - 126(4) + 1080	-240	-4	3(-4)4 + 6(-4)3 - 123(-4)2 - 126(-4) + 1080	0
1	5	5	3(5)4 + 6(5)3 - 123(5)2 - 126(5) + 1080	0	-5	3(-5)4 + 6(-5)3 - 123(-5)2 - 126(-5) + 1080	-240
1	6	6	3(6)4 + 6(6)3 - 123(6)2 - 126(6) + 1080	1080	-6	3(-6)4 + 6(-6)3 - 123(-6)2 - 126(-6) + 1080	0
1	8	8	3(8)4 + 6(8)3 - 123(8)2 - 126(8) + 1080	7560	-8	3(-8)4 + 6(-8)3 - 123(-8)2 - 126(-8) + 1080	3432
1	9	9	3(9)4 + 6(9)3 - 123(9)2 - 126(9) + 1080	14040	-9	3(-9)4 + 6(-9)3 - 123(-9)2 - 126(-9) + 1080	7560
1	10	10	3(10)4 + 6(10)3 - 123(10)2 - 126(10) + 1080	23520	-10	3(-10)4 + 6(-10)3 - 123(-10)2 - 126(-10) + 1080	14040
1	12	12	3(12)4 + 6(12)3 - 123(12)2 - 126(12) + 1080	54432	-12	3(-12)4 + 6(-12)3 - 123(-12)2 - 126(-12) + 1080	36720
1	15	15	3(15)4 + 6(15)3 - 123(15)2 - 126(15) + 1080	143640	-15	3(-15)4 + 6(-15)3 - 123(-15)2 - 126(-15) + 1080	106920
1	18	18	3(18)4 + 6(18)3 - 123(18)2 - 126(18) + 1080	308880	-18	3(-18)4 + 6(-18)3 - 123(-18)2 - 126(-18) + 1080	243432
1	20	20	3(20)4 + 6(20)3 - 123(20)2 - 126(20) + 1080	477360	-20	3(-20)4 + 6(-20)3 - 123(-20)2 - 126(-20) + 1080	386400
1	24	24	3(24)4 + 6(24)3 - 123(24)2 - 126(24) + 1080	1005480	-24	3(-24)4 + 6(-24)3 - 123(-24)2 - 126(-24) + 1080	845640
1	27	27	3(27)4 + 6(27)3 - 123(27)2 - 126(27) + 1080	1620432	-27	3(-27)4 + 6(-27)3 - 123(-27)2 - 126(-27) + 1080	1391040
1	30	30	3(30)4 + 6(30)3 - 123(30)2 - 126(30) + 1080	2478600	-30	3(-30)4 + 6(-30)3 - 123(-30)2 - 126(-30) + 1080	2162160
1	36	36	3(36)4 + 6(36)3 - 123(36)2 - 126(36) + 1080	5155920	-36	3(-36)4 + 6(-36)3 - 123(-36)2 - 126(-36) + 1080	4605120
1	40	40	3(40)4 + 6(40)3 - 123(40)2 - 126(40) + 1080	7863240	-40	3(-40)4 + 6(-40)3 - 123(-40)2 - 126(-40) + 1080	7105320
1	45	45	3(45)4 + 6(45)3 - 123(45)2 - 126(45) + 1080	12594960	-45	3(-45)4 + 6(-45)3 - 123(-45)2 - 126(-45) + 1080	11512800
1	54	54	3(54)4 + 6(54)3 - 123(54)2 - 126(54) + 1080	26089560	-54	3(-54)4 + 6(-54)3 - 123(-54)2 - 126(-54) + 1080	24213600
1	60	60	3(60)4 + 6(60)3 - 123(60)2 - 126(60) + 1080	39726720	-60	3(-60)4 + 6(-60)3 - 123(-60)2 - 126(-60) + 1080	37149840
1	72	72	3(72)4 + 6(72)3 - 123(72)2 - 126(72) + 1080	82215432	-72	3(-72)4 + 6(-72)3 - 123(-72)2 - 126(-72) + 1080	77754600
1	90	90	3(90)4 + 6(90)3 - 123(90)2 - 126(90) + 1080	200197440	-90	3(-90)4 + 6(-90)3 - 123(-90)2 - 126(-90) + 1080	191472120
1	108	108	3(108)4 + 6(108)3 - 123(108)2 - 126(108) + 1080	414257760	-108	3(-108)4 + 6(-108)3 - 123(-108)2 - 126(-108) + 1080	399168432
1	120	120	3(120)4 + 6(120)3 - 123(120)2 - 126(120) + 1080	630662760	-120	3(-120)4 + 6(-120)3 - 123(-120)2 - 126(-120) + 1080	609957000
1	135	135	3(135)4 + 6(135)3 - 123(135)2 - 126(135) + 1080	1008956520	-135	3(-135)4 + 6(-135)3 - 123(-135)2 - 126(-135) + 1080	979466040
1	180	180	3(180)4 + 6(180)3 - 123(180)2 - 126(180) + 1080	3180265200	-180	3(-180)4 + 6(-180)3 - 123(-180)2 - 126(-180) + 1080	3110326560
1	216	216	3(216)4 + 6(216)3 - 123(216)2 - 126(216) + 1080	6585048360	-216	3(-216)4 + 6(-216)3 - 123(-216)2 - 126(-216) + 1080	6464170440
1	270	270	3(270)4 + 6(270)3 - 123(270)2 - 126(270) + 1080	16052328360	-270	3(-270)4 + 6(-270)3 - 123(-270)2 - 126(-270) + 1080	15816200400
1	360	360	3(360)4 + 6(360)3 - 123(360)2 - 126(360) + 1080	50652430920	-360	3(-360)4 + 6(-360)3 - 123(-360)2 - 126(-360) + 1080	50092649640
1	540	540	3(540)4 + 6(540)3 - 123(540)2 - 126(540) + 1080	256000530240	-540	3(-540)4 + 6(-540)3 - 123(-540)2 - 126(-540) + 1080	254111098320
1	1080	1080	3(1080)4 + 6(1080)3 - 123(1080)2 - 126(1080) + 1080	4088881549800	-1080	3(-1080)4 + 6(-1080)3 - 123(-1080)2 - 126(-1080) + 1080	4073765277960
3	1	0.33333333	3(0.33333333)4 + 6(0.33333333)3 - 123(0.33333333)2 - 126(0.33333333) + 1080	1024.5925932778	-0.33333333	3(-0.33333333)4 + 6(-0.33333333)3 - 123(-0.33333333)2 - 126(-0.33333333) + 1080	1108.1481480067
3	2	0.66666667	3(0.66666667)4 + 6(0.66666667)3 - 123(0.66666667)2 - 126(0.66666667) + 1080	943.70370277556	-0.66666667	3(-0.66666667)4 + 6(-0.66666667)3 - 123(-0.66666667)2 - 126(-0.66666667) + 1080	1108.1481480067
3	4	1.33333333	3(1.33333333)4 + 6(1.33333333)3 - 123(1.33333333)2 - 126(1.33333333) + 1080	717.03703834889	-1.33333333	3(-1.33333333)4 + 6(-1.33333333)3 - 123(-1.33333333)2 - 126(-1.33333333) + 1080	1024.5925932778
3	5	1.66666667	3(1.66666667)4 + 6(1.66666667)3 - 123(1.66666667)2 - 126(1.66666667) + 1080	579.25925782444	-1.66666667	3(-1.66666667)4 + 6(-1.66666667)3 - 123(-1.66666667)2 - 126(-1.66666667) + 1080	943.70370277556
3	8	2.66666667	3(2.66666667)4 + 6(2.66666667)3 - 123(2.66666667)2 - 126(2.66666667) + 1080	134.81481339333	-2.66666667	3(-2.66666667)4 + 6(-2.66666667)3 - 123(-2.66666667)2 - 126(-2.66666667) + 1080	579.25925782444
3	10	3.33333333	3(3.33333333)4 + 6(3.33333333)3 - 123(3.33333333)2 - 126(3.33333333) + 1080	-114.07407306889	-3.33333333	3(-3.33333333)4 + 6(-3.33333333)3 - 123(-3.33333333)2 - 126(-3.33333333) + 1080	281.48148298
3	20	6.66666667	3(6.66666667)4 + 6(6.66666667)3 - 123(6.66666667)2 - 126(6.66666667) + 1080	2477.0370456689	-6.66666667	3(-6.66666667)4 + 6(-6.66666667)3 - 123(-6.66666667)2 - 126(-6.66666667) + 1080	601.48148562
3	40	13.33333333	3(13.33333333)4 + 6(13.33333333)3 - 123(13.33333333)2 - 126(13.33333333) + 1080	86570.370276242	-13.33333333	3(-13.33333333)4 + 6(-13.33333333)3 - 123(-13.33333333)2 - 126(-13.33333333) + 1080	61485.925852291

Real Roots → ƒ(r) = 0

Root List = {3,-4,5,-6}
These are the root(s) using direct substitution.
Below is a link using synthetic division
Click here to see the synthetic division for our polynomial using our root of 3
Click here to see the synthetic division for our polynomial using our root of -4
Click here to see the synthetic division for our polynomial using our root of 5
Click here to see the synthetic division for our polynomial using our root of -6